8. Sınıf Özdeşlikler: Özdeşlikler Konu Anlatımı, Örnek Alıştırmalar Ve Etkinlikler!

Bir özdeşlik, değişkenlerin tüm değerleri için geçerli olan bir denklemdir.

Haberin Devamı

Haberin Devamı

Haberin Devamı

Haberin Devamı

Örneğin:

(x+y)2 = x2+2y

Yukarıdaki denklem, tüm olası x ve y değerleri için doğrudur, bu nedenle buna bir özdeşlik denir.
Değişkenin herhangi bir değeri için bir özdeşlik doğrudur, ancak bir denklem değildir. Örneğin denklem
3x = 12
yalnızca x = 4 olduğunda doğrudur, bu nedenle bir denklemdir, ancak bir özdeşlik değildir.

Aslında, böyle bir denklem gördüğümüzde genellikle onu çözmeye çalışıyoruz. Yani, denklemi doğru kılan x'in tek değerini bulun.

8. Sınıf Özdeşlikler

Cebir ifadelerini basitleştirmek veya yeniden düzenlemek için kullanılırlar. Tanım gereği, bir kimliğin iki yüzü birbirinin yerine kullanılabilir, bu nedenle herhangi bir zamanda birini diğeriyle değiştirebiliriz.

İçlerindeki değişkenlerin tüm değerleri için geçerli olan cebirsel denklemlere cebirsel özdeşlik denir. Polinomların çarpanlara ayrılması için de kullanılırlar. Bu şekilde, cebirsel özdeşlikler, cebirsel ifadelerin hesaplanmasında ve farklı polinomların çözümünde kullanılır. Bunlardan birkaçını orta sınıflarda zaten öğrendiniz.

Tüm standart özdeşlikler, aşağıdaki gibi verilen Binom Teoreminden türetilmiştir:
( a + b)n=nC0.an.b0+nC1.an - 1.b1+ ... ... . .+nCn - 1.a1.bn - 1+nCn.a0.bn

Özdeşliklerde Kurallar

1) (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
2) (a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
3) a 2 - b 2 = (a + b) (a - b)
4) (x + a) (x + b) = x 2 + (a + b) x + ab
5) (a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ca
6) (a + b) 3 = a 3 + b 3 + 3ab (a + b)
7) (a - b) 3 = a 3 - b 3 - 3ab (a - b)
8) a 3 + b 3 + c 3 - 3abc = (a + b + c) (a 2 + b 2 + c 2 - ab - bc - ca)

Örnek 1:

Standart cebirsel kimlikleri kullanarak (x + 1) (x + 1) ürününü bulun.

Çözüm:

(x + 1) (x + 1), (x + 1) 2 olarak yazılabilir . Böylece, a = x ve b = 1 olan Kimlik I formundadır. Yani bizde,
(x + 1) 2 = (x) 2 + 2 (x) (1) + (1) 2 = x 2 + 2x + 1

Bir özdeşlik değişkenlerinin her değeri için aynı kaldığından, yukarıdaki örnekte gösterildiği gibi denklemin bir tarafının terimleri diğer tarafın terimleriyle ikame edilebilir, burada bir (x + y ) 2, diğer tarafta x 2 + 2xy + y 2 örneğiyle ve tam tersi.

Genel anlamı ile özdeşlikler denklemin sol tarafının değerinin, denklemin sağ tarafının değerine eşit olduğu denklemlerdir.

Özdeşlikler Konu Anlatımı

Matematikte özdeşlikleri öğrenmemiz çok önemlidir.
En önemli dört özdeşlik ve bunlara ait formül aşağıda listelenmiştir.

(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2
(a+b)(a-b)=a2-b2
(x+a)(x+b)=x2+x(a+b)+ab

Özdeşliklerle İlgili Örnek Alıştırma ve Etkinlikler

Soru 1:

Standart cebirsel özdeşlikleri kullanarak çarpanlara ayır (x 4 - 1).

Çözüm: (x 4 - 1), a = x 2 ve b = 1 olan özdeşlik 3 biçimindedir . Öyleyse,
(x 4 - 1) = ((x 2 ) 2 - 1 2 ) = (x 2 + 1) (x 2 - 1)
(X 2 - 1) çarpanı , a = x ve b = 1 olan aynı Kimlik III kullanılarak daha da çarpanlara ayrılabilir. Yani,
(x 4 - 1) = (x 2 + 1) ((x) 2 - (1) 2 ) = (x 2 + 1) (x + 1) (x - 1)

Soru 2:

16x 2 + 4y 2 + 9z 2 - 16xy + 12yz - 24zx çarpanlarına ayırın.

Çözüm:

16x 2 + 4y 2 + 9z 2 - 16xy + 12yz - 24zx
16x 2 + 4y 2 + 9z 2 - 16xy + 12yz - 24zx
= (4x) 2 + (-2y) 2 + (-3z) 2 + 2 (4x) (- 2y) + 2 (-2y) (- 3z) + 2 (-3z) (4x)
= (4x - 2y - 3z) 2
= (4x - 2y - 3z) (4x - 2y - 3z)

Soru 3:

(3x - 4y) 3'ü genişletin.

Çözüm:

(3x– 4y) 3, a = 3x ve b = 4y olduğu Özdeşlik VII biçimindedir. Böylece,
(3x - 4y) 3
= (3x) 3 - (4y) 3 - 3 (3x) (4y) (3x - 4y)
= 27x 3 - 64y 3 - 108x 2 y + 144xy 2